تحويلات لابلاس

موضوع: تحويلات لابلاس الخميس أغسطس 07, 2014 2:13 pm

تحويلات لابلاس
(Laplace Transforms)

تحويلات لابلاس (Laplace Transforms) هي عبارة عن عمليات رياضية يتم من خلالها تحويل الإقترانات المكونة من متغير واحد وفي العادة يكون الزمن (t) إلى إقترانات في المتغيرات المعقدة (Complex Variable) أو ما يسمى في العادة (S domain).
وهذه التحويلات مهمة جداً في دراسة الأنظمة الخطية للعديد من الأسباب، ومن أهم هذه الأسباب هي أنه باستعمال تحويلات لابلاس (Laplace Transforms) يمكننا تحويل المعادلات التفاضلية الخطية إلى معادلات جبرية (Algebraic Equation)، ومن الأسباب أيضاً هو يمكننا أن نقدم أكثر من تمثيل (Representation) للنظام الخطي، وستكون هذه التمثيلات للأنظمة ستكون الأساسيات لتقنيات التحكم الكلاسيكية.
فإذا كان لدينا الاقتران في ( Time domain). الاقتران x(t) for t>0. فإذا أردنا تعريف تحويل لابلاس له، فعلينا تطبيق المعادلة التالية:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

والسؤال -الآن-: ما هي الشروط التي يجب أن تتوافر في الإقتران المرتبط في الزمن لإيجاد لابلاس له؟

The Laplace transform exists for signals for which the above transformation integral converges.

على أية حال، هناك طريقة سهلة لفحص الظروف المناسبة لإيجاد تحويل لابلاس (Laplace Transforms). الطريقة تقرر أن:

x(t) is piecewise continuous

|x(t) < Kexp (at) when t>0 for some positive real numbers K and a

بعد ذلك، تحويل لابلاس:
L(x(t))= X(S) exists for Re(s)>a
حيث أن Re(s) هي الجزء الحقيقي من S.

ولنأخذ هذه الأمثلة التالية لتتوضح الأمور بشكل أفضل.

مثال1: x(t)= Step Function

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

مثال 2: Exponential Function

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

سنقوم الآن بدراسة خصائص تحويلات لابلاس:

1- الخطية لتحويل لا بلاس ( الضرب في ثابت ، المجموع والفرق ) :-
Linearity of Laplace Transform

إن تحويل لا بلاس لحاصل ضرب ثابت(C) في دالة زمنيةX(t) ، هو ضرب الثابت (C) في تحويل لا بلاس للدالة (X(t .

إن تحويل لا بلاس لمجموع دالتين زمنيتين ( أو الفرق بينهما ) هوحاصل جمع ( أو حاصل طرح ) تحويل لا بلاس للدالتين الزمنيتين .

إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]، لأي c1 و c2:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

البرهان:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

- التفاضل ( الاشتقاق ) :-
Laplace Transform of a derivative

إن تحويل لا بلاس المشتقة الأولى للدالة الزمنية x(t)هو حاصل ضرب(S) في تحويل لا بلاس للدالة x(t) مطروحاً منx(0) عندما تقتـــرب t من + 0 .

إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]، إذاً:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

البرهان:

[center][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

[/center]

3- تحويل لابلاس للمشتقات العليا:

إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]، فإن:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

البرهان:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

وبشكل عام:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

4- Laplace Transform of a signal Multiplied by an exponential:

إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]، فإن :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

البرهان:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

مثال: جد تحويل لابلاس لكل من الإقترانات التالثة:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

الحلول:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

بــــــــــــــــارك الله فيك
اختي الكريمة
واصلي